Вопрос школьника
На малюнку 22 два кола зі спільним центром — точкою О — мають радіуси 7 см і 5 см. Знайди довжини відрізків BD, АВ, СВ
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі нам потрібно використати геометричні знання про кола та їх властивості.
Спочатку зобразимо дану ситуацію на площині:
За умовою, кола мають спільний центр — точку О. Тому відрізок ОВ є спільним діаметром обох колів. З цього випливає, що відрізок АВ є перпендикуляром до ОВ, а відрізок СВ є дотичною до кола з радіусом 5 см в точці В.
Для того, щоб знайти довжину відрізка BD, нам потрібно знайти відрізок ОD. За властивостями кола, радіус, проведений до точки дотику, та дотична до кола утворюють прямий кут. Тому відрізок ОВ ділить відрізок BD на дві рівні частини. Таким чином, довжина відрізка BD дорівнює сумі радіусів колів: 7 см + 5 см = 12 см.
Для знаходження довжини відрізка АВ ми можемо скористатися теоремою Піфагора для прямокутного трикутника ОАВ:
$AV^2 + OB^2 = OA^2$
Оскільки ОВ є діаметром кола, то його довжина дорівнює сумі радіусів: 7 см + 5 см = 12 см. Тому:
$OA = 12 см$
$OB = frac{12 см}{2} = 6 см$
$AV^2 + 6^2 = 12^2$
$AV^2 = 144 — 36 = 108$
$AV = sqrt{108} = 6sqrt{3} см$
Таким чином, довжина відрізка АВ дорівнює 6√3 см.
Нарешті, для знаходження довжини відрізка СВ ми можемо скористатися властивостями дотичної до кола. За властивостями, дотична до кола утворює прямий кут з радіусом, проведеним до точки дотику. Тому відрізок СВ є гіпотенузою прямокутного трикутника ВСО, а радіус кола з радіусом 5 см є його катетом. Таким чином:
$SV^2 = OB^2 — SB^2$
$SV^2 = 5^2 — 4^2$
$SV^2 = 9$
$SV = 3 см$
Таким чином, довжина відрізка СВ дорівнює 3 см.
