Вопрос школьника
На медиане AM треугольника ABC отмечена точка D так, что AD : DM =1:3. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АС. В каком отношении эта прямая делит сторону ВС, считая от вершины С?
Ответ от учителя
Пусть точка E — середина стороны BC. Тогда, так как AM — медиана, то точка D — середина отрезка AM. Значит, AD = DM и AM = 2AD. Также, так как AE = EC, то точка D лежит на отрезке ME и MD = DE.
Проведем прямую, параллельную стороне АС, через точку D и пересекающую сторону ВС в точке F. Тогда, так как DE || AC, то треугольники ADE и AMC подобны, а значит, AD/AM = DE/MC. Подставляем известные значения: 1/3 = DE/(EC + MC) = DE/(BC/2 + MC) = DE/(BC/2 + EC/2) = DE/BE.
Также, так как EF || AC, то треугольники AEF и ABC подобны, а значит, AE/AB = EF/BC. Подставляем известные значения: 1/2 = EF/BC.
Из этих двух подобий получаем: AD/AM = DE/BE = 1/3 и EF/BC = 1/2. Значит, DE = BE/3 и EF = BC/2.
Теперь рассмотрим треугольник BDF. По теореме о параллельных прямых имеем, что EF || BD, а значит, треугольники BDF и BCF подобны. Тогда, BF/BC = BD/DF. Подставляем известные значения: BF/BC = (BC — EF)/BC = 1 — EF/BC = 1 — 1/2 = 1/2 и BD/DF = (BE/3 + EF)/(BC/2) = (BC/6 + BC/4)/(BC/2) = 5/6.
Итак, прямая, проведенная через точку D, делит сторону ВС в отношении 5:6, считая от вершины С.
