Вопрос школьника
На одной из сторон прямого угла взяты точки Аи В на расстоянии а и b от вершины. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся другой стороны этого угла.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник АВС, где С — вершина прямого угла. Пусть О — центр описанной окружности треугольника АВС. Тогда О лежит на биссектрисе угла С, а также на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.
Пусть D — точка касания описанной окружности с другой стороной угла С. Тогда ОD — радиус описанной окружности, а CD — радиус вписанной окружности треугольника АВС.
Заметим, что треугольник АОВ — прямоугольный, так как О лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. Поэтому, применяя теорему Пифагора, получаем:
$OV^2 = OA^2 — AV^2 = OB^2 — BV^2$
Заметим также, что треугольник АВС подобен треугольнику ОCD, так как углы при вершине С и D равны, а углы при вершинах А и В также равны. Поэтому:
$frac{CD}{AV} = frac{OD}{OV}$
Отсюда:
$OD = frac{CD cdot OV}{AV}$
Заменяем CD на радиус вписанной окружности треугольника АВС:
$OD = frac{(a+b-sqrt{a^2+b^2}) cdot frac{a+b}{2}}{a} = frac{(a+b-sqrt{a^2+b^2}) cdot (a+b)}{2a}$
Таким образом, радиус описанной окружности, проходящей через точки А и В и касающейся другой стороны угла С, равен:
$OD = frac{(a+b-sqrt{a^2+b^2}) cdot (a+b)}{2a}$
