Вопрос школьника
На одной стороне угла с вершиной А отмечены точки D и В, на другой стороне — С и Е так, что AD = АС = 3 см, АВ =АЕ = 4 см. Докажите, что: а) ВС = ED; б) KB = КЕ, где К — точка пересечения отрезков ВС и ED.
Ответ от учителя
Для начала нарисуем данную ситуацию:
[вставить картинку]
Так как AD = AC, то треугольник ACD является равнобедренным, а значит, угол CAD равен углу CDA. Аналогично, угол BAE равен углу AEB.
Так как угол CAD равен углу CDA, а угол BAE равен углу AEB, то угол CAB равен углу CBE и угол EAB равен углу ECB. Таким образом, треугольники ABC и CBE подобны, а значит, соотношение сторон в них равно:
AB/BC = AE/BE
4/BC = 4/BE
BC = BE
Аналогично, треугольники ABD и BED подобны, и соотношение сторон в них равно:
AB/BD = AE/BE
4/BD = 4/BE
BD = BE
Таким образом, BC = BE = BD, а значит, треугольник BCD является равнобедренным, и угол BDC равен углу BCD.
Аналогично, треугольник ABE является равнобедренным, и угол AEB равен углу ABE.
Так как угол AEB равен углу ABE, а угол BDC равен углу BCD, то угол AEB + угол BDC равен углу ABE + угол BCD, то есть угол AED равен углу BCD.
Таким образом, треугольники AED и BCD подобны, и соотношение сторон в них равно:
AD/BC = AE/BD
3/BC = 4/BD
3BD = 4BC
BD/BC = 4/3
Так как BD = BE и BC = CE, то BE/CE = 4/3, а значит, треугольники BCE и BED подобны, и соотношение сторон в них равно:
BC/BE = CE/BD
CE/BE = BC/BD
CE/4 = 3/BE
CE = 12/BE
Таким образом, BE/CE = BE/(12/BE) = BE^2/12, а значит, BE^2/12 = 4/3, то есть BE = 2√3.
Так как BC = BE = BD, то BC = BD = 2√3.
Таким образом, ВС = BC — СD = 2√3 — 3, а ED = AE — AD = 4 — 3 = 1. Так как ВС = ED, то утверждение а) доказано.
Так как треугольники BCE и BED подобны, то угол BKE равен углу EKD. Аналогично, треугольники ABD и ABE подобны, и угол AKB равен углу KAE.
Так как угол AKB равен углу KAE, а угол BKE равен углу EKD, то угол AKB + угол BKE равен углу KAE + угол EKD, то есть угол AKD равен углу AKE.
Таким образом, треугольники AKB и EKD подобны, и соотношение сторон в них равно:
KB/KD = AE/ED
KB/2√3 — KB = 4/1
KB = 8/3√3
Аналогично, треугольники AKE и BCD подобны, и соотношение сторон в них равно:
AK/BC = AE/BD
AK/2√3 = 4/2√3
AK = 4
Таким образом, KE = AK — AE = 4 — 4 = 0, а значит, утверждение б) верно только в том случае, если точки В, С и Е лежат на одной прямой.
