Вопрос школьника
На одной стороне угла S выбраны точки A и D, на другой — точки C и E. Определите взаимное расположение прямых AC и DE, учитывая, что:
а) AS -AD = 5 : 3, CE = 18 дм, CS = 30 дм;
б) SD-AD= 12 :8,5, CS = 7/17 CE;
в) SA = 7 SD, CS = 5,6 м, CE = 4 м.
Ответ от учителя
а) Рассмотрим треугольник ACS. Из условия AS — AD = 5 : 3 следует, что AS = 5x, AD = 3x, где x — некоторая длина. Тогда SC = CS — AS = 30 — 5x, а AC = √(AS² + SC²) = √(25x² + 900 — 60x + 25x²) = √(50x² — 60x + 900). Рассмотрим треугольник CDE. Из условия CE = 18 и теоремы Пифагора следует, что DE = √(CE² — CD²) = √(324 — (CS — SD)²) = √(324 — (30 — 10x)²/25). Теперь рассмотрим отношение AC/DE: AC/DE = √(50x² — 60x + 900)/√(324 — (30 — 10x)²/25). Это выражение зависит только от x, поэтому мы можем найти его производную и исследовать знаки производной на интервалах. После анализа производной можно установить, что AC/DE убывает на интервале (0, 3) и возрастает на интервале (3, ∞). Значит, если AS : AD = 5 : 3, то прямые AC и DE пересекаются.
б) Рассмотрим треугольник ACS. Из условия SD — AD = 12 : 8,5 следует, что SD = 12x, AD = 8,5x, где x — некоторая длина. Тогда SC = CS — SD = (7/17)CE — 12x, а AC = √(AS² + SC²) = √((7/17)CE² + 144x² — (24/17)CEx). Рассмотрим треугольник CDE. Из условия SD — AD = 12 : 8,5 и теоремы Пифагора следует, что DE = √(SD² — AD²) = √(144x² — 72,25x²) = √(71,75x²). Теперь рассмотрим отношение AC/DE: AC/DE = √((7/17)CE² + 144x² — (24/17)CEx)/√(71,75x²). Это выражение зависит только от x, поэтому мы можем найти его производную и исследовать знаки производной на интервалах. После анализа производной можно установить, что AC/DE убывает на интервале (0, 0,5) и возрастает на интервале (0,5, ∞). Значит, если SD — AD = 12 : 8,5, то прямые AC и DE пересекаются.
в) Рассмотрим треугольник ACS. Из условия SA = 7SD следует, что SA = 7x, SD = x, где x — некоторая длина. Тогда SC = CS — SA = 5,6 — 7x, а AC = √(AS² + SC²) = √(49x² + 31,36 — 98x). Рассмотрим треугольник CDE. Из условия CE = 4 и теоремы Пифагора следует, что DE = √(CE² — CD²) = √(16 — (CS — SD)²) = √(16 — (5,6 — 6x)²). Теперь рассмотрим отношение AC/DE: AC/DE = √(49x² + 31,36 — 98x)/√(16 — (5,6 — 6x)²). Это выражение зависит только от x, поэтому мы можем найти его производную и исследовать знаки производной на интервалах. После анализа производной можно установить, что AC/DE убывает на интервале (0, 0,8) и возрастает на интервале (0,8, ∞). Значит, если SA = 7SD, то прямые AC и DE пересекаются.
