Вопрос школьника
На одном из концов стержня длины I = 1 м и массы т1 = 1 кг укреплён свинцовый шарик массой т2 = 0,2 кг. Стержень, будучи поставлен на разные концы А или В, падает без скольжения из вертикального положения два раза. Сравните угловые ускорения при отклонении стержня на угол а = 30° от вертикали.
Ответ от учителя
При отклонении стержня на угол а = 30° от вертикали, на него начинает действовать момент силы тяжести, который стремится вернуть стержень в вертикальное положение. Этот момент силы можно выразить как произведение силы тяжести на момент рычага, который равен расстоянию от точки подвеса до центра масс шарика.
При подвешивании стержня за конец А, центр масс находится на расстоянии L/2 = 0,5 м от точки подвеса. При подвешивании за конец В, центр масс находится на расстоянии L/2 + L/5 = 0,7 м от точки подвеса.
Таким образом, момент силы тяжести при подвешивании за конец А равен:
M1 = m*g*(L/2)*sin(a) = 1*9,81*0,5*sin(30°) = 2,45 Н*м
А при подвешивании за конец В:
M2 = m*g*(L/2 + L/5)*sin(a) = 1*9,81*0,7*sin(30°) = 3,41 Н*м
Угловое ускорение стержня можно выразить как отношение момента силы к моменту инерции стержня:
α = M/I
Момент инерции стержня можно выразить как сумму моментов инерции шарика и стержня относительно оси вращения, которая проходит через центр масс шарика и перпендикулярна стержню.
I = Iшарика + Iстержня
Момент инерции шарика относительно этой оси равен:
Iшарика = 2/5*m*r^2 = 2/5*0,2*(0,05)^2 = 0,00005 кг*м^2
Момент инерции стержня относительно этой оси можно выразить как момент инерции стержня относительно его центра масс, сдвинутого на расстояние L/2 от оси вращения:
Iстержня = 1/3*m*L^2 + m*(L/2)^2 = 1/3*1*1^2 + 1*(0,5)^2 = 0,5833 кг*м^2
Таким образом, угловое ускорение стержня при подвешивании за конец А равно:
α1 = M1/I = 2,45/0,5833 = 4,20 рад/с^2
А при подвешивании за конец В:
α2 = M2/I = 3,41/0,5833 = 5,84 рад/с^2
Таким образом, угловое ускорение стержня при отклонении на угол а = 30° от вертикали больше при подвешивании за конец В, так как момент силы тяжести больше, а момент инерции меньше.
