Вопрос школьника
На окружности даны точки А и В. Две точки С и D перемещаются по окружности так, что хорда CD остаётся постоянной. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых АС и BD.
Ответ от учителя
Пусть $O$ — центр окружности, $M$ — середина хорды $CD$, $P$ и $Q$ — точки пересечения прямых $AC$ и $BD$ соответственно.
Так как хорда $CD$ остаётся постоянной, то $M$ остаётся на одной и той же позиции на окружности. Пусть $M_1$ и $M_2$ — две возможные позиции точки $M$ на окружности.
Тогда $angle AMC = angle AM_1C$ и $angle BMD = angle BM_2D$, так как эти углы опираются на одну и ту же дугу $MC$ и $MD$ соответственно.
Также заметим, что $angle AOC = angle BOD = 90^circ$, так как $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности.
Из этих угловых соотношений следует, что $angle POC = angle QOD$, так как они являются вертикальными углами.
Таким образом, точки $P$ и $Q$ лежат на одной и той же дуге $CD$ между точками $M_1$ и $M_2$.
Итак, геометрическое место точек пересечения прямых $AC$ и $BD$ — это дуга окружности между точками $M_1$ и $M_2$, на которой лежат точки $P$ и $Q$.
