Вопрос школьника
На окружности, описанной около треугольника ABC, взяты точки К, М, Р, отличные от его вершин, так, что АК = АВ, ВМ = ВС, СР = СА. Найдите углы треугольника КМР, если углы А и В треугольника ABC соответственно равны: а) 28°, 58°; б) 58°, 84°; в) 84°, 28°.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится несколько свойств окружностей и треугольников.
1. Если точка лежит на окружности, то расстояние от нее до центра окружности равно радиусу.
2. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
3. В треугольнике, вписанном в окружность, угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, соответствующего этой дуге.
4. В треугольнике, вписанном в окружность, произведение длин двух сторон, образующих угол, равно произведению диаметра на длину биссектрисы, проведенной к этому углу.
Теперь рассмотрим каждый из трех случаев.
а) Углы А и В равны 28° и 58° соответственно.
Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Так как АК = АВ, то точка К лежит на биссектрисе угла А. Аналогично, точки М и Р лежат на биссектрисах углов В и С соответственно.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то высоты, проведенные к основаниям АВ и ВС, являются биссектрисами и медианами. Значит, точки К и М лежат на медиане, проходящей через вершину В, а точки М и Р — на медиане, проходящей через вершину С.
Таким образом, точки К, М, Р лежат на пересечении биссектрис и медиан треугольника ABC. Это означает, что точки К, М, Р являются вершинами равнобедренного треугольника, вписанного в треугольник ABC.
Так как АК = АВ, то угол КАВ равен 28°. Аналогично, углы МВС и СРА равны 58°. Значит, центральные углы, соответствующие дугам АК, ВМ и СР, равны 56°, 116° и 116° соответственно.
Из свойства 3 следует, что углы треугольника КМР равны половинам центральных углов, то есть 28°, 58° и 58°.
б) Углы А и В равны 58° и 84° соответственно.
Аналогично предыдущему случаю, точки К, М, Р лежат на пересечении биссектрис и медиан треугольника ABC и образуют равнобедренный треугольник, вписанный в треугольник ABC.
Угол КАВ равен 58°, а углы МВС и СРА равны 84°. Значит, центральные углы, соответствующие дугам АК, ВМ и СР, равны 116°, 168° и 168° соответственно.
Из свойства 3 следует, что углы треугольника КМР равны половинам центральных углов, то есть 58°, 84° и 84°.
в) Углы А и В равны 84° и 28° соответственно.
Аналогично предыдущим случаям, точки К, М, Р лежат на пересечении биссектрис и медиан треугольника ABC и образуют равнобедренный треугольник, вписанный в треугольник ABC.
Угол КАВ равен 84°, а углы МВС и СРА равны 28°. Значит, центральные углы, соответствующие дугам АК, ВМ и СР, равны 168°, 56° и 56° соответственно.
Из свойства 3 следует, что углы треугольника КМР равны половинам центральных углов, то есть 84°, 28° и 28°.
Таким образом, ответы на задачу:
а) 28°, 58°, 58°;
б) 58°, 84°, 84°;
в) 84°, 28°, 28°.
