Вопрос школьника
На окружности отмечено 10 точек, которые разделяют ее на 10 равных дуг. Сколько существует неравных треугольников с вершинами в отмеченных точках? А четырехугольников?
Ответ от учителя
Для того чтобы посчитать количество неравных треугольников и четырехугольников с вершинами в отмеченных точках на окружности, нужно использовать комбинаторику.
Для треугольников: выбираем 3 точки из 10, чтобы получить треугольник. Количество способов выбрать 3 точки из 10 равно C(10,3) = 120. Однако, некоторые из этих треугольников будут равнобедренными или равносторонними, что не удовлетворяет условию задачи. Чтобы исключить такие треугольники, нужно вычесть из общего числа треугольников количество равнобедренных и равносторонних треугольников. Равнобедренных треугольников будет 10 (по одному на каждую точку), а равносторонних — 1 (треугольник, образованный всеми 10 точками). Таким образом, количество неравных треугольников равно 120 — 10 — 1 = 109.
Для четырехугольников: выбираем 4 точки из 10, чтобы получить четырехугольник. Количество способов выбрать 4 точки из 10 равно C(10,4) = 210. Однако, некоторые из этих четырехугольников будут выпуклыми, а некоторые — невыпуклыми. Чтобы исключить невыпуклые четырехугольники, нужно вычесть из общего числа четырехугольников количество невыпуклых четырехугольников. Невыпуклых четырехугольников может быть не более, чем количество треугольников, то есть 109. Таким образом, количество неравных четырехугольников не превышает 210 — 109 = 101. Однако, некоторые из этих четырехугольников могут быть равнобедренными или равносторонними, что не удовлетворяет условию задачи. Чтобы исключить такие четырехугольники, нужно вычесть из общего числа четырехугольников количество равнобедренных и равносторонних четырехугольников. Равнобедренных четырехугольников будет 10 (по одному на каждую точку), а равносторонних — 1 (четырехугольник, образованный всеми 10 точками). Таким образом, количество неравных четырехугольников равно 101 — 10 — 1 = 90.
