Вопрос школьника
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что /NBA=11°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойство, согласно которому угол, стоящий на диаметре окружности, равен 90 градусам. Также нам понадобится знание о том, что угол, образованный хордой и касательной, равен половине угла, стоящего на дуге, ограниченной этой хордой.
Итак, пусть угол NMB равен x градусов. Тогда угол NBA равен 90 — 11 = 79 градусов (так как угол, стоящий на диаметре, равен 90 градусам). Значит, угол NMA равен 79/2 = 39.5 градусов (так как NM является хордой, а NB — касательной).
Теперь рассмотрим треугольник NMB. Сумма углов в нем равна 180 градусам, поэтому:
x + NMB + NBM = 180
Заметим, что угол NBM равен углу NMA (так как они соответственно равны половине углов, стоящих на дугах NB и NM). Значит, мы можем записать:
x + NMB + NMA = 180
x + NMB + 39.5 = 180
Отсюда получаем:
NMB = 180 — x — 39.5
Теперь воспользуемся тем, что сумма углов в треугольнике NMB равна 180 градусам. Значит:
x + NMB + MBN = 180
Заметим, что угол MBN равен углу NBA (так как они соответственно равны углам, стоящим на дугах, ограниченных хордами MB и NB). Значит, мы можем записать:
x + NMB + 79 = 180
Отсюда получаем:
NMB = 101 — x
Теперь мы имеем два выражения для NMB:
NMB = 180 — x — 39.5
NMB = 101 — x
Сравнивая их, получаем:
180 — x — 39.5 = 101 — x
Отсюда находим:
x = 39.5
Таким образом, угол NMB равен 101 — 39.5 = 61.5 градусов.
