Вопрос школьника
На окружности с центром О отмечены две точки М и N так, что угол MON прямой. Отрезок NP — диаметр окружности. Докажите, что хорды MN и МР равны. Найдите угол PMN.
Ответ от учителя
Для доказательства равенства хорд MN и MP воспользуемся теоремой о перпендикуляре, проведенном из центра окружности к хорде. Из центра О проведем перпендикуляр к хорде MN, который пересечет ее в точке Q. Так как угол MON прямой, то точка Q лежит на диаметре NP. Также, так как NP — диаметр, то угол NPM прямой. Значит, треугольник NPM прямоугольный, и по теореме Пифагора:
$MN^2 = MQ^2 + QN^2$
$MP^2 = MQ^2 + QP^2$
Так как Q лежит на диаметре, то QN = QP, и из первого уравнения следует, что $MN^2 = MP^2$, то есть $MN = MP$.
Чтобы найти угол PMN, заметим, что он равен углу, образованному хордами PM и MN, и который опирается на дугу PN. Так как NP — диаметр, то угол PON прямой, и угол PMN равен половине угла PON:
$angle PMN = frac{1}{2} angle PON = frac{1}{2} cdot 90^circ = 45^circ$.
Таким образом, мы доказали, что хорды MN и MP равны, и нашли угол PMN.
