Вопрос школьника
На окружности с центром О последовательно отмечены точки А, В, С, D так, что прямые AD и ВС параллельны, точка О лежит между ними, AD > ВС и ∠OBA — ∠OCD. 1) Докажите, что ∠AOB = ∠COD. 2) Докажите, что АС = BD. 3) Докажите, что ∠DBC = ∠CAD. 4) Сравните расстояния от точки О до прямых AD и ВС.
Ответ от учителя
1) Из условия следует, что ∠OBA = ∠OCD и ∠OAB = ∠OCD (как вертикальные углы). Тогда в треугольниках OAB и OCD имеем две пары равных углов, следовательно, третьи углы ∠AOB и ∠COD также равны.
2) Рассмотрим треугольники AOC и BOD. Они равнобедренные, так как AO = OC и BO = OD (как радиусы окружности). Также из условия следует, что ∠OAB = ∠OCD, а значит, ∠OAC = ∠ODB (как вертикальные углы). Тогда треугольники AOC и BOD подобны по двум углам, а значит, их стороны пропорциональны. В частности, AC/BD = AO/BO = 1 (как радиусы окружности), откуда AC = BD.
3) Из пункта 1) следует, что ∠AOB = ∠COD. Тогда в треугольниках AOB и COD имеем две пары равных углов, следовательно, третьи углы ∠OBA и ∠OCD также равны. Но ∠OBA = ∠DAB и ∠OCD = ∠BCD (как вертикальные углы), откуда ∠DAB = ∠BCD. Тогда треугольники ABD и BCD подобны по двум углам, а значит, их стороны пропорциональны. В частности, AD/BC = AB/BD, откуда AD = BC.
4) Рассмотрим треугольники AOD и BOC. Они равнобедренные, так как AO = OD и BO = OC (как радиусы окружности). Также из условия следует, что AD > BC, а значит, ∠AOD > ∠BOC (как углы при большей стороне). Тогда высота из точки О на сторону AD больше, чем на сторону BC. Таким образом, расстояние от точки О до прямой AD больше, чем до прямой ВС.
