Вопрос школьника
На основании AD трапеции ABCD отмечены точки M и N так, что четырехугольник MBCN — параллелограмм. Прямая AC пересекает отрезки BM и BD в точках P и O, а прямая BD пересекает отрезок CN в точке Q. Докажите, что площадь пятиугольника MPOQN равна сумме площадей треугольников APB, BOC и CQD.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что треугольники APB, BOC и CQD являются частями трапеции ABCD. Поэтому их суммарная площадь равна площади трапеции ABCD.
Также заметим, что параллелограмм MBCN имеет ту же высоту, что и трапеция ABCD. Поэтому площадь параллелограмма MBCN равна произведению его высоты на длину основания, равной длине отрезка BC. Таким образом, площадь параллелограмма MBCN равна площади трапеции ABCD.
Теперь рассмотрим пятиугольник MPOQN. Он состоит из треугольников MPO, POQ и QN. Заметим, что треугольники MPO и QN имеют общую высоту, равную высоте трапеции ABCD. Поэтому их суммарная площадь равна произведению высоты на сумму длин оснований, равных длинам отрезков MP и NQ. Таким образом, площадь треугольников MPO и QN равна площади трапеции ABCD.
Треугольник POQ имеет высоту, равную высоте трапеции ABCD, и основание, равное разности длин отрезков BD и CN. Поэтому его площадь равна половине произведения высоты на основание, то есть половине произведения высоты на длину отрезка BD минус длину отрезка CN.
Таким образом, площадь пятиугольника MPOQN равна сумме площадей треугольников MPO, POQ и QN, которая, в свою очередь, равна площади трапеции ABCD. Доказательство завершено.
