Вопрос школьника
На основании АС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки Р и Q так, что АР = CQ. Докажите, что треугольник PBQ равнобедренный.
Ответ от учителя
Для доказательства равнобедренности треугольника PBQ нужно показать, что его боковые стороны PQ и PB равны между собой.
Рассмотрим треугольники APR и CQB. Они равнобедренные, так как у них две равные стороны: AP = AR и BQ = CQ. Также у них равны углы при вершине: ∠APR = ∠CQB, так как они соответственные углы при равных сторонах.
Из равенства сторон AP и CQ следует, что угол PAB равен углу QCB, так как они вертикальные. Аналогично, угол PBA равен углу QBC.
Теперь рассмотрим треугольники PBQ и ABR. У них две равные стороны: AB = AR и BQ = CQ. Также у них равны углы при вершине: ∠ABR = ∠CQB, так как они соответственные углы при равных сторонах.
Из равенства углов PAB и QBC следует, что угол PBQ равен углу ABR. Аналогично, из равенства углов PBA и QCB следует, что угол PQB равен углу ACB.
Таким образом, треугольник PBQ имеет две равные стороны PB и BQ и равные углы при вершине PBQ и PQB. Значит, он равнобедренный.
