Вопрос школьника
На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=14 и BC=36. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством касательной к окружности: она перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания.
Построим радиус AO, где O — центр окружности:
[](https://i.imgur.com/5JZJZJL.png)
Так как AC=14, то CO=AO-AC=AO-14. Также из прямоугольного треугольника ABC следует, что AB=√(AC²+BC²)=√(14²+36²)=√1420.
Заметим, что треугольник ABO также является прямоугольным, так как угол BAO является прямым (радиус перпендикулярен касательной). Тогда по теореме Пифагора:
BO²=AB²-AO²=1420-(AO-14)²
Теперь нам нужно найти длину касательной, проведенной из точки B к окружности. Обозначим эту длину через x. Тогда по теореме Пифагора для треугольника BCO:
BO²=BC²+CO²
Подставляем CO=AO-14 и BO²=1420-(AO-14)²:
1420-(AO-14)²=BC²+(AO-14)²
Раскрываем квадраты:
1420-AO²+28AO-196=BC²+AO²-28AO+196
280=2AO²-BC²
Теперь выразим BC через x и AO через r (радиус окружности):
BC=2x
AO=r
Тогда:
280=2r²-4x²
140=r²-2x²
x=√((r²-140)/2)
Осталось найти радиус r. Радиус окружности, проходящей через точки A и C, равен половине отрезка AC, то есть 7. Таким образом, мы получаем:
x=√((49-140)/2)=√(-91/2)
Как видим, подкоренное выражение отрицательное, что означает, что касательная из точки B не касается окружности. Ответ: касательная не существует.
