Вопрос школьника
На отрезке АВ длиной 15 м отмечена точка С. Найдите длины отрезков АС и ВС, если: а) отрезок АС на 3 м длиннее отрезка ВС; б) отрезок АС в два раза длиннее отрезка ВС; в) длины отрезков АС и ВС относятся как 2:3.
Ответ от учителя
а) Пусть длина отрезка ВС равна х метров. Тогда длина отрезка АС будет равна (х+3) метра. Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике АСВ с катетами АС и ВС и гипотенузой АВ, справедливо уравнение:
$$(AC)^2 + (BC)^2 = (AB)^2$$
Подставляя известные значения, получаем:
$$(AC)^2 + x^2 = 15^2$$
$$(x+3)^2 + x^2 = 225$$
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение:
$$2x^2 + 6x — 96 = 0$$
Решая его, получаем два корня: x1 = 6 и x2 = -8. Отрицательный корень не подходит, так как длина отрезка не может быть отрицательной. Значит, длина отрезка ВС равна 6 метрам, а длина отрезка АС равна 9 метрам.
б) Пусть длина отрезка ВС равна х метров. Тогда длина отрезка АС будет равна 2х метра. Снова применяем теорему Пифагора:
$$(AC)^2 + (BC)^2 = (AB)^2$$
Подставляя известные значения, получаем:
$$(2x)^2 + x^2 = 15^2$$
$$5x^2 = 225$$
$$x^2 = 45$$
$$x = sqrt{45} approx 6.71$$
Значит, длина отрезка ВС равна примерно 6.71 метрам, а длина отрезка АС равна примерно 13.42 метрам.
в) Пусть длина отрезка ВС равна х метров. Тогда длина отрезка АС будет равна $frac{2}{3}x$ метра. Снова применяем теорему Пифагора:
$$(AC)^2 + (BC)^2 = (AB)^2$$
Подставляя известные значения, получаем:
$$left(frac{2}{3}xright)^2 + x^2 = 15^2$$
$$frac{13}{9}x^2 = 225$$
$$x^2 = frac{225 cdot 9}{13} approx 154.85$$
$$x approx 12.45$$
Значит, длина отрезка ВС равна примерно 12.45 метрам, а длина отрезка АС равна примерно 8.3 метрам.
