Вопрос школьника
На отрезке АВ отметили точку С так, что АС: СВ = 3:2. Найдите координаты вектора АВ если АC (-9; 15).
Ответ от учителя
Пусть координаты точек А, В и С равны соответственно (х1, у1), (х2, у2) и (х3, у3). Тогда, используя формулу координат вектора, получаем:
AB = (х2 — х1, у2 — у1)
AC = (х3 — х1, у3 — у1)
Также из условия задачи известно, что АС: СВ = 3:2. Это означает, что отношение расстояний от точки С до точек А и В равно 3:2. Можно записать это в виде уравнения:
AC / CV = 3 / 2
Заменяем координаты векторов на их модули:
|AC| / |CV| = 3 / 2
Выражаем |CV| через |AC|:
|CV| = 2/3 * |AC|
Теперь можем найти координаты точки В:
х2 = х1 + ABx
у2 = у1 + ABy
ABx = |AB| * cos(α), где α — угол между вектором AB и осью x
ABy = |AB| * sin(α), где α — угол между вектором AB и осью y
|AB| = √((х2 — х1)^2 + (у2 — у1)^2)
Таким образом, нам нужно найти значения ABx и ABy, используя известные значения AC и CV:
ABx = (х2 — х1) = |AB| * cos(α) = |AC| + |CV| * cos(α) = |AC| + 2/3 * |AC| * cos(α)
ABy = (у2 — у1) = |AB| * sin(α) = |CV| * sin(α) = 2/3 * |AC| * sin(α)
Теперь осталось найти угол α. Для этого воспользуемся теоремой косинусов:
|AC|^2 + |CV|^2 — 2 * |AC| * |CV| * cos(α) = |AV|^2
|AV| = |AB| = √((х2 — х1)^2 + (у2 — у1)^2)
Подставляем известные значения:
|AC|^2 + (2/3 * |AC|)^2 — 2 * |AC| * 2/3 * |AC| * cos(α) = |AB|^2
Упрощаем:
13/9 * |AC|^2 — 4/3 * |AC| * |AB| * cos(α) = 0
cos(α) = 13/12 * |AC| / |AB|
Теперь можем вычислить ABx и ABy:
ABx = |AC| + 2/3 * |AC| * cos(α) = |AC| + 13/18 * |AC| = 31/18 * |AC|
ABy = 2/3 * |AC| * sin(α) = 2/3 * |AC| * √(1 — cos^2(α)) = 2/3 * |AC| * √(1 — (169/144)^2) ≈ 8.6
Таким образом, координаты вектора AB равны (ABx, ABy) ≈ (31/18 * |AC|, 8.6). Подставляя известные значения, получаем:
(ABx, ABy) ≈ (-17.17, 8.6)
