Вопрос школьника
На отрезок [0,10], разделенный точками 1,2,3,4,7 на четыре отрезка длины 1 и два отрезка длины 3, наугад брошено 8 точек. Найти вероятность того, что из брошенных точек в два каких-либо отрезка длиной 1 попадет по две точки, а в каждый из оставшихся отрезков- по одной точке.
Ответ от учителя
Рассмотрим отрезки длины 1. Их всего 4, и мы должны выбрать из них два, в которые попадут по две точки. Количество способов выбрать два отрезка из четырех равно $C_4^2 = 6$. Для каждого такого выбора есть только один способ распределить по две точки в каждый из выбранных отрезков.
Теперь рассмотрим отрезки длины 3. Их всего 2, и в каждый из них должна попасть по одной точке. Рассмотрим первый отрезок длины 3. Вероятность того, что в него попадет одна точка, равна длине отрезка, на котором мы выбираем точку (равномерное распределение), то есть $frac{1}{3}$. Таким образом, вероятность того, что в первый отрезок попадет одна точка, а во второй — две, равна $frac{1}{3} cdot frac{2}{3} = frac{2}{9}$. Однако, точки могут попасть в отрезки в любом порядке, поэтому нужно умножить эту вероятность на 2.
Таким образом, общая вероятность равна $6 cdot frac{2}{9} cdot 2 = frac{8}{3 cdot 5^7}$.
