Вопрос школьника
На плоскости даны точки А и В. Найдите геометрическое место точек С таких, что медиана к стороне ВС в треугольнике ABC равна стороне ВС.
Ответ от учителя
Пусть точка С имеет координаты (x, y). Тогда координаты точек А и В известны, и мы можем записать уравнения прямых AC и BC:
AC: y = k1x + b1
BC: y = k2x + b2
где k1 и k2 — угловые коэффициенты прямых AC и BC соответственно, а b1 и b2 — их свободные члены.
Так как медиана к стороне ВС делит ее пополам, то точка М — середина стороны ВС — имеет координаты ((x_B + x_C)/2, (y_B + y_C)/2). Также известно, что медиана к стороне ВС равна стороне ВС, то есть длина отрезка МС равна длине отрезка ВС:
sqrt((x_B — x_C)^2 + (y_B — y_C)^2) = sqrt((x_B — (x_C + x)/2)^2 + (y_B — (y_C + y)/2)^2)
Возводя обе части уравнения в квадрат и упрощая, получаем:
(x_B — x_C)^2 + (y_B — y_C)^2 = ((x_B — x_C)/2 — x)^2 + ((y_B — y_C)/2 — y)^2
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:
3x^2 — 2(x_B + x_C)x + x_B^2 + x_C^2 — 4x_Bx_C + 3y^2 — 2(y_B + y_C)y + y_B^2 + y_C^2 — 4y_By_C = 0
Это уравнение задает геометрическое место точек С, удовлетворяющих условию задачи. Оно представляет собой квадратичное уравнение относительно x и y, и его графиком является некоторая кривая на плоскости. Эта кривая и будет искомым геометрическим местом точек С.
