Вопрос школьника
На плоскости имеется угол, равный 75°, с вершиной О. На сторонах угла взяты точки А и В так, что ОА = √2, OB = √3. На луче, расположенном внутри угла и имеющем начало О, взята точка С так, что ОС= 1/2√6. Известно также, что АОС = 30°. Докажите, что точки А, С и В лежат на одной прямой.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что точки А, С и В лежат на одной прямой, нужно показать, что отрезки АС и СВ лежат на одной прямой. Для этого можно воспользоваться теоремой синусов.
Из треугольника ОАС по теореме синусов получаем:
sin(75°) / √2 = sin(30°) / (1/2√6)
sin(75°) = sin(30°) * √3
sin(75°) = (1/2) * √3
Из треугольника ОВС по теореме синусов получаем:
sin(75°) / √3 = sin(α) / (1/2√6)
sin(α) = (1/2) * sin(75°) * √2
sin(α) = (1/2) * (1/2) * √6
sin(α) = 1/4 * √6
Из треугольника АВС по теореме синусов получаем:
sin(α) / √3 = sin(105°) / √2
sin(α) = sin(105°) * √3 / 2
sin(α) = (1/2) * √3 * cos(15°)
sin(α) = (1/2) * √3 * √((1+cos(30°))/2)
sin(α) = (1/2) * √3 * √((1+√3/2)/2)
sin(α) = (1/4) * √6
Таким образом, sin(α) = 1/4 * √6 в обоих случаях, что означает, что угол АСВ равен 180°, и точки А, С и В лежат на одной прямой.
