Вопрос школьника
На плоскости изображено несколько многоугольников, сумма всех углов которых равна 720°. Сколько и какие многоугольники изображены, если среди них нет пятиугольника?
Ответ от учителя
Пусть на плоскости изображено n многоугольников. Обозначим через k количество многоугольников, которые не являются пятиугольниками. Тогда количество пятиугольников равно n — k.
Сумма углов в k многоугольниках равна 180(k-2) градусов, так как в каждом многоугольнике (кроме треугольника) есть два угла, которые не являются вершинами многоугольника. Сумма углов в (n-k) пятиугольниках равна 540(n-k), так как в каждом пятиугольнике есть три угла, которые не являются вершинами многоугольника.
Таким образом, уравнение на сумму углов во всех многоугольниках имеет вид:
180(k-2) + 540(n-k) = 720
Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем:
360n — 360k = 720
n — k = 2
Таким образом, количество пятиугольников равно n — k = 2. Значит, на плоскости изображены два многоугольника, один из которых является пятиугольником, а другой — не пятиугольником.
