Вопрос школьника
На плоскости Оху найти такую точку М, сумма расстояний которой до точек А(-1,2,5) и В(11,-16,10) была бы наименьшей
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать геометрический подход.
1. Найдем координаты точки М на плоскости Оху. Поскольку точка М находится на плоскости Оху, то ее координата по оси z равна 0. Обозначим координаты точки М через (х, у, 0).
2. Найдем расстояние от точки М до точки А. Используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве, получим:
d1 = √[(x + 1)² + (y — 2)² + 5²]
3. Найдем расстояние от точки М до точки В. Аналогично, получим:
d2 = √[(x — 11)² + (y + 16)² + 10²]
4. Найдем сумму расстояний d1 и d2:
d = d1 + d2 = √[(x + 1)² + (y — 2)² + 5²] + √[(x — 11)² + (y + 16)² + 10²]
5. Найдем минимальное значение суммы расстояний d. Для этого необходимо найти точку М, в которой производная суммы расстояний равна нулю:
∂d/∂x = (x + 1)/√[(x + 1)² + (y — 2)² + 5²] + (x — 11)/√[(x — 11)² + (y + 16)² + 10²] = 0
∂d/∂y = (y — 2)/√[(x + 1)² + (y — 2)² + 5²] + (y + 16)/√[(x — 11)² + (y + 16)² + 10²] = 0
6. Решим полученную систему уравнений относительно x и y. Для этого можно использовать численные методы, например, метод Ньютона.
7. Найденные значения x и y будут координатами точки М, в которой сумма расстояний до точек А и В будет наименьшей.
Таким образом, мы нашли точку М на плоскости Оху, сумма расстояний которой до точек А и В будет наименьшей.
