Вопрос школьника
На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Все они попарно соединены отрезками. Сколько всего отмечено точек, если проведено 105 отрезков?
Ответ от учителя
Пусть всего отмечено $n$ точек. Тогда каждая точка соединена с $(n-1)$ другими точками, и каждый отрезок соединяет две точки, то есть каждый отрезок учитывается дважды. Таким образом, число отрезков равно $frac{n(n-1)}{2}$.
Из условия задачи известно, что число отрезков равно 105. Подставляем это значение и решаем уравнение:
$$frac{n(n-1)}{2} = 105$$
$$n(n-1) = 210$$
$$n^2 — n — 210 = 0$$
Решаем квадратное уравнение:
$$n_1 = -14, n_2 = 15$$
Так как $n$ должно быть положительным, то ответ: на плоскости отмечено 15 точек.
