Вопрос школьника
На плоскости проведены параллельные прямые, отстоящие друг от друга на 10 см. На плоскость
наудачу брошена монета радиуса 2 см. Найти вероятность того, что монета не заденет ни одной прямой.
Ответ от учителя
Для того чтобы монета не задела ни одной из параллельных прямых, необходимо, чтобы расстояние от центра монеты до каждой из прямых было больше, чем радиус монеты.
Расстояние от точки до прямой можно найти по формуле:
$d = frac{|ax_0 + by_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}}$
где $a$ и $b$ — коэффициенты уравнения прямой в общем виде $ax + by + c = 0$, $x_0$ и $y_0$ — координаты центра монеты.
Так как прямые параллельны, то у них одинаковые коэффициенты $a$ и $b$, а значит, расстояние от центра монеты до каждой из прямых будет одинаковым и равно:
$d = frac{|ax_0 + by_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}} = frac{|ax_0 + by_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}} = frac{|c|}{sqrt{a^2 + b^2}} = frac{10}{2} = 5$ см.
Таким образом, вероятность того, что монета не заденет ни одной прямой, равна отношению площади круга радиуса 5 см к площади прямоугольника, ограниченного параллельными прямыми и отстоящего от них на 10 см:
$P = frac{pi cdot 5^2}{10 cdot 100} = frac{pi}{4} approx 0.785$ или около 78.5%.
