Вопрос школьника
На плоскости расположены две пересекающиеся прямые. Из точки их пересечения одновременно начинают двигаться две точки, каждая по своей прямой. Скорости точек равны. Какую линию описывает середина отрезка с концами в движущихся точках?
Ответ от учителя
Пусть пересекающиеся прямые заданы уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$. Точка пересечения прямых имеет координаты $(x_0, y_0)$, где $x_0 = frac{b_2 — b_1}{k_1 — k_2}$ и $y_0 = k_1x_0 + b_1 = k_2x_0 + b_2$.
Пусть движущиеся точки находятся на расстоянии $d$ от точки пересечения прямых. Тогда координаты этих точек в момент времени $t$ будут следующими:
$$
begin{aligned}
x_1(t) &= x_0 + frac{d}{sqrt{1 + k_1^2}}cos(alpha_1 + omega t) \
y_1(t) &= y_0 + k_1(x_1(t) — x_0) \
x_2(t) &= x_0 + frac{d}{sqrt{1 + k_2^2}}cos(alpha_2 + omega t) \
y_2(t) &= y_0 + k_2(x_2(t) — x_0)
end{aligned}
$$
где $alpha_1$ и $alpha_2$ — углы между прямыми и осью $x$, $omega$ — угловая скорость движения точек.
Тогда координаты середины отрезка с концами в движущихся точках будут равны:
$$
begin{aligned}
x_m(t) &= frac{x_1(t) + x_2(t)}{2} \
y_m(t) &= frac{y_1(t) + y_2(t)}{2}
end{aligned}
$$
Подставляя выражения для $x_1(t)$, $y_1(t)$, $x_2(t)$ и $y_2(t)$, получаем:
$$
begin{aligned}
x_m(t) &= x_0 + frac{d}{2}left(frac{cos(alpha_1 + omega t)}{sqrt{1 + k_1^2}} + frac{cos(alpha_2 + omega t)}{sqrt{1 + k_2^2}}right) \
y_m(t) &= y_0 + frac{d}{2}left(k_1frac{cos(alpha_1 + omega t)}{sqrt{1 + k_1^2}} + k_2frac{cos(alpha_2 + omega t)}{sqrt{1 + k_2^2}}right)
end{aligned}
$$
Таким образом, середина отрезка с концами в движущихся точках описывает гармонические колебания вдоль некоторой прямой, проходящей через точку пересечения прямых. Амплитуда колебаний равна $frac{d}{2}$, период колебаний равен $T = frac{2pi}{omega}$, направление колебаний определяется углом между прямыми.
