Вопрос школьника
На поверхности четырёхугольника поместилось 8 полных квадратных сантиметров и 4 неполных. Найди площадь этого четырёхугольника.
Ответ от учителя
Пусть стороны четырехугольника равны a, b, c и d. Тогда его площадь можно выразить через диагонали и угол между ними:
S = 1/2 * d1 * d2 * sin(угол)
где d1 и d2 — диагонали четырехугольника.
Так как четыре квадрата полностью покрывают четырехугольник, то можно записать:
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 8
Также известно, что на поверхности четырехугольника поместилось 4 неполных квадрата. Пусть их площади равны x, y, z и w. Тогда:
x + y + z + w = 4
Объединим эти два уравнения:
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + x + y + z + w = 12
Заметим, что сумма квадратов сторон четырехугольника равна:
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)
Так как каждая сторона входит в два произведения, то можно записать:
2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) = 8
ab + ac + ad + bc + bd + cd = 4
Теперь можно выразить диагонали через стороны:
d1^2 = a^2 + c^2 + 2ac*cos(угол1)
d2^2 = b^2 + d^2 + 2bd*cos(угол2)
где угол1 и угол2 — углы между соответствующими сторонами и диагоналями.
Так как угол между диагоналями равен 180 градусов, то cos(угол1) = -cos(угол2). Подставим все выражения в формулу для площади:
S = 1/2 * sqrt((a^2 + c^2 + 2ac*cos(угол1)) * (b^2 + d^2 — 2bd*cos(угол1))) * sin(угол1)
Выразим cos(угол1) через стороны и подставим известные значения:
cos(угол1) = (a^2 + c^2 — b^2 — d^2) / (2ac)
S = 1/2 * sqrt((a^2 + c^2 + 2ac*(a^2 + c^2 — b^2 — d^2)/(2ac)) * (b^2 + d^2 — 2bd*(a^2 + c^2 — b^2 — d^2)/(2ac))) * sqrt(1 — ((a^2 + c^2 — b^2 — d^2)/(2ac))^2)
Упростим выражение:
S = 1/2 * sqrt((a^2 + c^2 — b^2 — d^2) * (b^2 + d^2 — a^2 — c^2)) * sqrt(4ac — (a^2 + c^2 — b^2 — d^2)^2/(ac))^2)
Теперь можно подставить известные значения:
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 8
x + y + z + w = 4
ab + ac + ad + bc + bd + cd = 4
Решив систему уравнений, получим:
a = b = c = d = sqrt(2)
x = y = z = w = 0
Таким образом, площадь четырехугольника равна:
S = 2 * sqrt(2) * sqrt(2) * sin(45) = 4
