Вопрос школьника
На продолжении основания AC равнобедренного треугольника ABC за точку C отмечена точка M. Для каких из треугольников ABC, ABM и CBM основание высоты, проведенной из вершины B, лежит на продолжении стороны?
Ответ от учителя
Высота, проведенная из вершины B, является перпендикуляром к основанию AC. Если основание высоты лежит на продолжении стороны, то это означает, что точка пересечения высоты и продолжения стороны лежит на этом продолжении.
Рассмотрим треугольник ABC. Если он равнобедренный, то высота, проведенная из вершины B, будет также являться медианой и биссектрисой. Так как медиана и биссектриса пересекаются в точке, лежащей на основании, то основание высоты будет лежать на продолжении стороны AC только в том случае, если треугольник ABC является равнобедренным и точка M совпадает с вершиной C.
Рассмотрим теперь треугольник ABM. В этом треугольнике высота, проведенная из вершины B, будет лежать на стороне AM, если угол ABM является прямым. Если угол ABM не является прямым, то высота будет пересекать сторону AM внутри треугольника, и основание высоты не будет лежать на продолжении стороны AC.
Рассмотрим треугольник CBM. В этом треугольнике высота, проведенная из вершины B, будет лежать на стороне CM, если угол CBM является прямым. Если угол CBM не является прямым, то высота будет пересекать сторону CM внутри треугольника, и основание высоты не будет лежать на продолжении стороны AC.
Таким образом, основание высоты, проведенной из вершины B, будет лежать на продолжении стороны AC только в том случае, если треугольник ABC является равнобедренным и точка M совпадает с вершиной C.
