Вопрос школьника
На продолжении стороны AD за точку D параллелограмма ABCD отмечена точка М так, что AD — MD. Докажите, что параллелограмм ABCD и треугольник АВМ равновелики.
Ответ от учителя
Для доказательства равновеликости параллелограмма ABCD и треугольника АВМ нужно показать, что их площади равны.
Площадь параллелограмма ABCD равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону. Высота параллелограмма, опущенная на сторону AD, равна длине отрезка MD, так как AD — MD. Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна S1 = AD * MD.
Площадь треугольника АВМ равна половине произведения длины его основания AB на высоту, опущенную на это основание. Высота треугольника АВМ, опущенная на основание AB, равна длине отрезка MD, так как AD — MD. Таким образом, площадь треугольника АВМ равна S2 = 0.5 * AB * MD.
Так как AD — MD, то можно выразить AB через AD и MD: AB = AD — MD. Подставляя это выражение в формулу для площади треугольника АВМ, получаем S2 = 0.5 * (AD — MD) * MD = 0.5 * AD * MD — 0.5 * MD^2.
Таким образом, площади параллелограмма ABCD и треугольника АВМ равны, если S1 = S2:
AD * MD = 0.5 * AD * MD — 0.5 * MD^2
Упрощая это уравнение, получаем:
0.5 * AD * MD = 0.5 * MD^2
MD = MD
Уравнение верно, так как обе его части равны. Следовательно, площади параллелограмма ABCD и треугольника АВМ равны, что и означает их равновеликость.
