Вопрос школьника
На продолжении стороны АВ треугольника АВС взята точка D, AB=BD.
Через нее и середину Е стороны АС проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке F. Найдите отношение BF:FC.
Ответ от учителя
Поскольку точка D лежит на продолжении стороны AB, то AB является продолжением отрезка BD. Значит, угол ABD равен углу ABC (они соответственные). Также, поскольку AB=BD, то угол ADB равен углу ABD (они равнобедренные). Значит, угол ADB также равен углу ABC.
Теперь рассмотрим треугольник AEC. Поскольку точка Е — середина стороны AC, то отрезок AE равен отрезку EC. Значит, угол AEC равен углу ACE (они соответственные). Также, поскольку точка D лежит на прямой, проходящей через точки E и C, то угол ADF равен углу AEC (они соответственные).
Теперь рассмотрим треугольник BFC. Поскольку точка F лежит на прямой, проходящей через точки D и E, то угол BFC равен углу ADF (они соответственные). Значит, угол BFC также равен углу AEC.
Итак, мы получили, что углы ABC и BFC равны, а углы AEC и BFC равны. Значит, треугольники ABC и BFC подобны. Поэтому отношение длин отрезков BF и FC равно отношению длин сторон AB и AC:
BF/FC = AB/AC
Но по условию задачи AB=BD, а отрезок BD является продолжением стороны AB. Значит, AB+BD=AD=AC. Тогда AB/AC=AB/(AB+BD)=1/(1+BD/AB). Но по условию задачи BD/AB=1, так как AB=BD. Значит, AB/AC=1/2.
Итак, мы получили, что BF/FC=1/2. Ответ: отношение BF к FC равно 1:2.
