Вопрос школьника
На продолжениях гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC с точки A i В обозначили соответственно точки D i E так, что AC = AD, BC = BE. Найдите угол DCE
Ответ от учителя
Поскольку AC = AD, то треугольник ACD равнобедренный, а значит, угол CAD равен углу ACD. Аналогично, поскольку BC = BE, то треугольник BCE равнобедренный, и угол CBE равен углу BCE. Таким образом, угол ACE равен сумме углов CAD и CBE.
Треугольник ABC прямоугольный, поэтому угол ACB равен 90 градусам. Также, угол CAB равен углу CBA, так как они являются смежными углами. Таким образом, сумма углов треугольника ABC равна:
ACB + CAB + CBA = 90 + 2CAB = 90 + 2CBA
Делим обе части на 2:
45 + CAB = 45 + CBA
CAB = CBA
Таким образом, угол ACE равен углу CAD + CBE, а угол CAD равен углу CBA, который равен углу CAB. Таким образом, угол ACE равен удвоенному углу CAB.
Наконец, рассмотрим треугольник CDE. Угол CDE равен 90 градусам, так как он лежит на продолжении гипотенузы. Также, угол ACE равен углу DCE + ECD. Таким образом, угол DCE равен углу ACE — ECD.
Угол ACE равен удвоенному углу CAB, который мы уже вычислили:
ACE = 2CAB
Угол ECD равен углу ACB, так как треугольник CDE прямоугольный и угол ECD является противолежащим углом к катету CD, который равен гипотенузе CB:
ECD = ACB = 90 — CAB
Таким образом, угол DCE равен:
DCE = ACE — ECD = 2CAB — (90 — CAB) = 3CAB — 90
Из вышеуказанного мы знаем, что CAB равен половине угла ABC, который является прямым. Таким образом, CAB равен 45 градусам, а угол DCE равен:
DCE = 3CAB — 90 = 3 * 45 — 90 = 45 градусов
Ответ: угол DCE равен 45 градусов.
