Вопрос школьника
На продовженнях гіпотенузи АВ прямокутного трикутника ABC за точки A i В позначили відповідно точки D i E так, що AC = AD, BC = BE. Знайдіть кут DCE
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі використаємо теорему Піфагора та властивості прямокутних трикутників.
Оскільки трикутник ABC є прямокутним, то за теоремою Піфагора маємо:
AB² = AC² + BC²
Також, оскільки AC = AD та BC = BE, то ми можемо записати:
AD² = AC² + CD²
BE² = BC² + CE²
Звідси маємо:
CD² = AD² — AC²
CE² = BE² — BC²
Оскільки ми шукаємо кут DCE, то нам потрібно знайти косинус цього кута. Для цього використаємо формулу косинуса для кута між векторами CD та CE:
cos(DCE) = (CD·CE) / (|CD|·|CE|)
де CD·CE — скалярний добуток векторів CD та CE, |CD| та |CE| — довжини цих векторів.
Знайдемо спочатку довжини векторів CD та CE. Оскільки трикутник ABC є прямокутним, то ми можемо використати властивості подібних трикутників та отримати:
AD / AB = AC / BC
BE / AB = BC / AC
Звідси маємо:
AD = AB·AC / BC
BE = AB·BC / AC
Також, оскільки трикутник ABC є прямокутним, то ми можемо використати теорему Піфагора для трикутників ACD та BCE та отримати:
CD² = AC² — AD² = AC² — (AB·AC / BC)²
CE² = BC² — BE² = BC² — (AB·BC / AC)²
Тепер знайдемо скалярний добуток векторів CD та CE. Оскільки вектори CD та CE є відрізками, що лежать на продовженні гіпотенузи трикутника ABC, то вони є паралельними. Звідси маємо:
CD·CE = |CD|·|CE|
Таким чином, ми можемо записати:
cos(DCE) = CD·CE / (CD²·CE²)^(1/2)
Підставляємо значення CD² та CE², які ми знайшли раніше, та отримуємо:
cos(DCE) = (AC² — (AB·AC / BC)²)^(1/2)·(BC² — (AB·BC / AC)²)^(1/2) / (AC² — (AB·AC / BC)²)·(BC² — (AB·BC / AC)²)^(1/2)
Спрощуємо вираз та отримуємо:
cos(DCE) = (AC² — (AB·AC / BC)²)^(1/2) / (AC² — (AB·AC / BC)²)
Тепер можемо знайти сам кут DCE, використовуючи формулу:
DCE = arccos(cos(DCE))
Отримуємо:
DCE = arccos((AC² — (AB·AC / BC)²)^(1/2) / (AC² — (AB·AC / BC)²))
Отже, ми знайшли кут DCE за допомогою теореми Піфагора та властивостей прямокутних трикутників.
