Вопрос школьника
На прямой даны три точки А, В и С, причём АВ = 83 см, АС=97см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача?
Ответ от учителя
Для решения задачи можно воспользоваться теоремой косинусов.
Согласно этой теореме, в треугольнике длина любой стороны равна квадратному корню из суммы квадратов двух других сторон минус удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Применяя эту формулу к треугольнику АВС, получим:
ВС = √(АВ² + АС² — 2·АВ·АС·cos(∠BAC))
Для нахождения косинуса угла ∠BAC можно воспользоваться формулой косинусов для треугольника АВС:
cos(∠BAC) = (АВ² + АС² — ВС²) / (2·АВ·АС)
Подставляя это выражение в первую формулу, получим:
ВС = √(АВ² + АС² — 2·АВ·АС·(АВ² + АС² — ВС²) / (2·АВ·АС))
Упрощая выражение, получим:
ВС = √(2·АВ² + 2·АС² — ВС²)
Переносим ВС² в левую часть и приводим подобные слагаемые:
ВС² = 2·АВ² + 2·АС² — ВС²
2·ВС² = 2·АВ² + 2·АС²
ВС² = АВ² + АС²
ВС = √(АВ² + АС²) = √(83² + 97²) ≈ 126.5 см
Таким образом, длина отрезка ВС равна примерно 126.5 см.
Задача имеет единственное решение, так как известны длины двух сторон треугольника и угол между ними определен однозначно.
