Вопрос школьника
На прямой от точки А отложены отрезки АВ = 13 см и АС = 8 см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача? (сделайте рисунок и запишите решение.)
Ответ от учителя
Для решения задачи построим отрезок АВ длиной 13 см и отрезок АС длиной 8 см на одной прямой. Затем проведем от точки В отрезок ВD, параллельный отрезку АС, и от точки С отрезок СD, параллельный отрезку АВ. Таким образом, мы получим параллелограмм ABCD, в котором искомый отрезок ВС является диагональю.
Для нахождения длины отрезка ВС воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника АВD:
$AD^2 + BD^2 = AB^2$
$AD^2 + (BC — CD)^2 = AB^2$
$AD^2 + BC^2 — 2BC cdot CD + CD^2 = AB^2$
Также воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника АСD:
$AD^2 + CD^2 = AC^2$
$AD^2 + CD^2 = 64$
Теперь мы можем выразить $CD^2$ из второго уравнения и подставить в первое:
$AD^2 + BC^2 — 2BC cdot CD + 64 — AD^2 = 169$
$BC^2 — 2BC cdot CD + 95 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно BC:
$BC = frac{2CD pm sqrt{4CD^2 — 4 cdot 95}}{2} = CD pm sqrt{CD^2 — 95}$
Таким образом, длина отрезка ВС может быть найдена как сумма или разность длин отрезков BC и CD:
$BC + CD = 2CD + sqrt{CD^2 — 95}$
$BC — CD = 2 sqrt{CD^2 — 95} — 2CD$
Теперь осталось найти возможные значения длины отрезка CD. Поскольку отрезки ВD и СD являются высотами параллелограмма ABCD, то они равны между собой:
$BD = CD = sqrt{AD^2 — AB^2} = sqrt{64 — 169} = sqrt{-105}$
Поскольку корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел, то задача не имеет решений.
