Вопрос школьника
На прямой отмечены точки А, В, С и D (рис. 190) так, что АВ = = CD. Поставьте вместо звёздочки знак <, > или = так, чтобы для длин отрезков получилось верное равенство или неравенство: а) BA * DC; в) АС * BD; б) АС * СВ; г) AD * ВС.
Ответ от учителя
На рисунке 190 видно, что отрезки АВ и CD равны, то есть AB = CD. Это означает, что отрезки BC и DA также равны, так как они являются продолжениями отрезков AB и CD соответственно.
а) BA * DC
Так как AB = CD, то BA = DC. Значит, BA * DC = DC * DC = DC^2. Ответ: = (равно).
в) АС * BD
Отрезки AC и BD пересекаются в точке B, поэтому нам нужно знать, как связаны отрезки AB, BC, BD и CD. Заметим, что треугольники ABC и BCD подобны, так как у них соответственные углы равны (углы при вершине B) и соотношение сторон AB/BC = CD/BC = AB/CD. Значит, BD/BC = BC/AC.
Теперь можем выразить BD через AC: BD = BC^2/AC. Подставляем это выражение в формулу для АС * BD: АС * BD = AC * BC^2/AC = BC^2. Ответ: = (равно).
б) АС * СВ
Отрезки АС и СВ не пересекаются, поэтому нам нужно знать, как связаны отрезки AB, BC и CD. Заметим, что треугольники ABC и BCD подобны, так как у них соответственные углы равны (углы при вершине B) и соотношение сторон AB/BC = CD/BC = AB/CD. Значит, AB/CD = BC/BC = 1.
Теперь можем выразить СВ через АС: СВ = AB — АС. Подставляем это выражение в формулу для АС * СВ: АС * СВ = АС * (AB — АС) = АС * AB — АС^2. Ответ: > (больше).
г) AD * ВС
Отрезки AD и ВС пересекаются в точке B, поэтому нам нужно знать, как связаны отрезки AB, BC, BD и CD. Заметим, что треугольники ABC и BCD подобны, так как у них соответственные углы равны (углы при вершине B) и соотношение сторон AB/BC = CD/BC = AB/CD. Значит, BD/BC = BC/AC.
Теперь можем выразить AD через ВС: AD = BC^2/ВС. Подставляем это выражение в формулу для AD * ВС: AD * ВС = BC^2/ВС * ВС = BC^2. Ответ: = (равно).
