Вопрос школьника
На прямой последовательно отложены отрезки АВ, ВС, CD. Точки Е и Р лежат по разные стороны от этой прямой. ∠ABE = ∠PCD = 143°, ∠PBD = 49°, ∠ACE = 48°. а) Докажите, что прямые BE и PC параллельны. б) Докажите, что прямые РВ и СЕ пересекаются
Ответ от учителя
а) Для доказательства параллельности прямых BE и PC воспользуемся теоремой о параллельных прямых, пересекающихся на третьей прямой. Предположим, что BE и PC не параллельны. Тогда они пересекаются в точке Q. Рассмотрим треугольники ABE и PCD. Углы ∠ABE и ∠PCD равны по условию, а углы ∠AEB и ∠CPD равны 180° — ∠ABE и 180° — ∠PCD соответственно, так как сумма углов треугольника равна 180°. Значит, треугольники ABE и PCD подобны по двум углам. Аналогично можно доказать, что треугольники BPD и ACE подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует, что отношения соответствующих сторон равны. То есть:
AB/PC = BE/CD и BD/CE = BP/AC
Рассмотрим отношение этих двух равенств:
AB/PC * BD/CE = BE/CD * BP/AC
Подставим известные значения углов:
AB/PC * sin(49°) * sin(48°) = BE/CD * sin(143°) * sin(48°)
Заметим, что sin(49°) * sin(48°) = sin(143°) * sin(48°), так как sin(α) = sin(180° — α). Поэтому:
AB/PC = BE/CD
Но это означает, что треугольники ABE и PCD подобны по стороне и углу, что противоречит условию. Значит, предположение о пересечении прямых BE и PC неверно, и они параллельны.
б) Для доказательства пересечения прямых РВ и СЕ рассмотрим треугольники BPD и ACE. Углы ∠PBD и ∠ACE равны по условию, а углы ∠BPD и ∠AEC равны 180° — ∠PBD и 180° — ∠ACE соответственно, так как сумма углов треугольника равна 180°. Значит, треугольники BPD и ACE подобны по двум углам. Аналогично можно доказать, что треугольники ABE и PCD подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует, что отношения соответствующих сторон равны. То есть:
AB/PC = BE/CD и BD/CE = BP/AC
Рассмотрим отношение этих двух равенств:
AB/PC * BD/CE = BE/CD * BP/AC
Подставим известные значения углов:
AB/PC * sin(49°) * sin(48°) = BE/CD * sin(143°) * sin(48°)
Заметим, что sin(49°) * sin(48°) = sin(143°) * sin(48°), так как sin(α) = sin(180° — α). Поэтому:
AB/PC = BE/CD
Но это означает, что треугольники ABE и PCD подобны по стороне и углу, что противоречит условию. Значит, предположение о пересечении прямых РВ и СЕ неверно, и они не пересекаются.
