Вопрос школьника
На прямой расположены два равных отрезка АВ и CD. Найдите геометрическое место точек плоскости, из которых эти отрезки видны под равными углами.
Ответ от учителя
Геометрическое место точек, из которых отрезки АВ и CD видны под равными углами, является прямой, проходящей через середины отрезков АВ и CD и перпендикулярной прямой, соединяющей концы отрезков.
Для доказательства этого факта рассмотрим точку М на искомом геометрическом месте. Проведем из нее лучи, которые пересекают отрезки АВ и CD в точках Р и Q соответственно. Так как углы AMP и DMQ равны (из условия), то треугольники AMP и DMQ подобны. А значит, отношение длин отрезков AM и DM равно отношению длин отрезков AP и DQ. Но так как отрезки АВ и CD равны, то и отрезки AP и DQ равны. Следовательно, отрезки AM и DM также равны. Таким образом, точка М лежит на перпендикулярной прямой, проходящей через середины отрезков АВ и CD.
Обратно, если точка лежит на этой прямой, то углы, под которыми видны отрезки АВ и CD из этой точки, будут равны. Действительно, лучи, проведенные из этой точки, будут перпендикулярны прямой, соединяющей концы отрезков, и проходить через середины отрезков. А значит, треугольники, образованные этими лучами и отрезками, будут подобными, и углы, под которыми видны отрезки, будут равны.
Таким образом, геометрическое место точек, из которых отрезки АВ и CD видны под равными углами, является прямой, проходящей через середины отрезков АВ и CD и перпендикулярной прямой, соединяющей концы отрезков.
