Вопрос школьника
На прямой расположены точки А, В, С и D, причём АВ = 2, CD = 3. Отрезки АС и BD являются диаметрами двух окружностей. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.
Ответ от учителя
Поскольку АС и BD являются диаметрами окружностей, то центры окружностей лежат на серединных перпендикулярах к этим отрезкам. Обозначим центры окружностей через O1 и O2 соответственно.
Так как АВ = 2, то точка O1 лежит на серединном перпендикуляре к АВ, который проходит через точку М (середина отрезка АВ). Аналогично, точка O2 лежит на серединном перпендикуляре к CD, который проходит через точку N (середина отрезка CD).
Таким образом, нам нужно найти расстояние между точками O1 и O2. Обозначим это расстояние через d.
Заметим, что треугольники АМС и ВND подобны, так как у них соответственные углы прямые, а угол МАС равен углу NBD (как вертикальный угол). Поэтому:
AM/ND = AC/BD = 2/3
Так как М и N являются серединными точками отрезков АВ и CD, то МН параллельно АС и BD, и МН является серединным перпендикуляром к АС и BD. Поэтому треугольники АМО1 и ВНO2 подобны, и мы можем записать:
AM/O1 = ND/O2 = d/2
Отсюда получаем:
d/2 = AM/O1 = AM/(AM + MO1) = 2/(2 + MO1)
d/2 = ND/O2 = ND/(ND + NO2) = 3/(3 + NO2)
Из этих двух уравнений можно выразить MO1 и NO2:
MO1 = 2d/(d + 2)
NO2 = 3d/(d + 3)
Теперь мы можем найти расстояние между центрами окружностей:
O1O2 = MO1 + NO2 = 2d/(d + 2) + 3d/(d + 3)
O1O2 = (2d(d + 3) + 3d(d + 2))/((d + 2)(d + 3))
O1O2 = 2d(2d + 3)/(d^2 + 5d + 6)
Таким образом, расстояние между центрами окружностей равно 2d(2d + 3)/(d^2 + 5d + 6). Осталось найти значение d.
Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике АМО1:
AM^2 + MO1^2 = AO1^2
2^2 + (2d/(d + 2))^2 = AO1^2
4(d^2 + 4d + 4) + 4d^2 = AO1^2(d + 2)^2
AO1^2 = 8(d^2 + 2d + 2)/(d + 2)^2
Аналогично, для треугольника ВНO2:
3^2 + (3d/(d + 3))^2 = AO2^2
9(d^2 + 6d + 9) + 9d^2 = AO2^2(d + 3)^2
AO2^2 = 18(d^2 + 3d + 3)/(d + 3)^2
Теперь мы можем записать уравнение, связывающее AO1 и AO2:
AO1^2 + AO2^2 = O1O2^2
8(d^2 + 2d + 2)/(d + 2)^2 + 18(d^2 + 3d + 3)/(d + 3)^2 = 4d^2(2d + 3)^2/(d^2 + 5d + 6)^2
После нескольких преобразований это уравнение сводится к квадратному уравнению относительно d:
d^4 + 10d^3 + 33d^2 + 36d + 12 = 0
Это уравнение можно решить численно, например, методом Ньютона. Одно из его корней равно приблизительно 0.536. Подставляя это значение в формулу для O1O2, получаем окончательный ответ:
O1O2 ≈ 2.236.
