Вопрос школьника
На прямой расположены точки А, В, С и D, следующие друг за другом в указанном порядке. Известно, что ВС = 3 и А В = 2CD. Через точки А и С проведена некоторая окружность, а через В и D — другая. Их общая хорда пересекает ВС в точке К. Найдите ВК.
Ответ от учителя
Пусть точка О — центр обеих окружностей. Тогда, так как АО и СО — радиусы одной окружности, а ВО и ДО — радиусы другой, то АО = СО и ВО = ДО. Обозначим ВК = х. Тогда КС = 3 — х.
Так как АВ = 2CD, то АС = АВ + ВС + СК = 2CD + 3 + х. Также, АС = 2ОК, так как АС — диаметр окружности, проходящей через А и С.
Таким образом, 2ОК = 2CD + 3 + х, откуда ОК = CD + 1.5 + 0.5х.
Также, ВК * КС = ОК * (ОК — ВК), так как ВК * КС — площадь прямоугольника ВКСК, а ОК * (ОК — ВК) — площадь трапеции ОКВКС.
Подставляем значения:
х * (3 — х) = (CD + 1.5 + 0.5х) * (CD + 1.5 — 0.5х)
3х — х^2 = CD^2 + 1.5CD + 1.5х + 1.5CD + 2.25 — 0.75х — 0.5хCD — 0.75х
Переносим все в одну часть:
х^2 + 2.75х — CD^2 — 3CD — 2.25 = 0
Решаем квадратное уравнение относительно х:
х = (-2.75 ± √(2.75^2 + 4CD^2 + 12.75CD + 9)) / 2
х = (-2.75 ± √((2CD + 3)^2 + 0.25)) / 2
Так как х > 0, то
х = (-2.75 + √((2CD + 3)^2 + 0.25)) / 2
Подставляем ВС = 3:
х = (-2.75 + √((2CD + 3)^2 + 0.25)) / 2 = (-2.75 + √(4CD^2 + 12CD + 9.0625)) / 2
Ответ: ВК = (-2.75 + √(4CD^2 + 12CD + 9.0625)) / 2.
