Вопрос школьника
На прямой расположены точки А, В, С и D так, что АВ — 3, ВС = 1, CD = 2, AD = 6. На каком расстоянии от А может находиться такая точка М этой же прямой, для которой AM: MD = ВМ: МС?
Ответ от учителя
Для начала построим схему:
A——3——B——1——C——2——D
Пусть расстояние от точки А до точки М равно х. Тогда расстояние от точки М до точки D будет равно 6 — х.
Согласно условию задачи, отношение AM к MD равно отношению BM к MC:
AM/MD = BM/MC
Заменим значения:
x/(6-x) = BM/2
BM = 2x/(6-x)
Также известно, что расстояние AB равно 3, а расстояние BC равно 1. Следовательно, расстояние AC равно 4.
Теперь можно составить еще одно уравнение, используя теорему Пифагора для треугольника ABM:
AB^2 + BM^2 = AM^2
Подставим значения:
3^2 + (2x/(6-x))^2 = x^2
9(6-x)^2 + 4x^2 = 9x^2
324 — 108x + 9x^2 + 4x^2 = 9x^2
13x^2 — 108x + 324 = 0
Решим квадратное уравнение:
x = (108 ± √(108^2 — 4*13*324)) / (2*13)
x = (108 ± 36) / 26
x1 = 6, x2 = 12/13
Ответ: точка М может находиться на расстоянии 6 или 12/13 от точки А.
