Вопрос школьника
На прямых a и b, перпендикулярных плоскости а и пересекающих ее в точках A и B, взяты соответственно точки CиD так, что CA = 9 см, DB = 15 см. Вычислите длину отрезка CD, если AB = 8 см.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники ABC и ABD. Они являются прямоугольными, так как лежат на пересекающихся прямых a и b, перпендикулярных плоскости а. Также они имеют общий катет AC = 9 см и BD = 15 см соответственно. Из условия задачи известно, что AB = 8 см.
Применим теорему Пифагора для треугольников ABC и ABD:
AC² + BC² = AB²
BD² + AD² = AB²
Подставим известные значения:
9² + BC² = 8²
15² + AD² = 8²
Решим уравнения относительно неизвестных сторон:
BC² = 8² — 9² = 15
AD² = 8² — 15² = -161
Так как AD² получилось отрицательным, то треугольник ABD не существует. Это означает, что точки C и D лежат на одной прямой. Длина отрезка CD равна разности расстояний от точек C и D до точки пересечения прямых a и b (точки A и B соответственно).
Рассмотрим треугольник ACD. Он также является прямоугольным, так как лежит на пересекающихся прямых a и плоскости а. Из теоремы Пифагора для него получаем:
CD² = AC² + AD² = 9² + (-161) = 656
CD = √656 ≈ 25,6 см
Таким образом, длина отрезка CD равна примерно 25,6 см.
