Вопрос школьника
На ребрах DA = 4, DB = 6 и DC = 5 тетраэдра АВСD отмечены точки А1, В1, и С1 так, что DA1 = 1, DB1 = 3 и DC1 = 2. В каком отношении плоскость A1B1C1 делит объем тетраэдра?
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся формулой для объема тетраэдра:
V = (1/3) * S * h,
где S — площадь основания тетраэдра, h — высота тетраэдра, опущенная на это основание.
Площадь основания тетраэдра ABCD можно найти с помощью формулы Герона:
p = (DA + DB + DC) / 2 = (4 + 6 + 5) / 2 = 7.5,
S = sqrt(p * (p — DA) * (p — DB) * (p — DC)) = sqrt(7.5 * 3.5 * 1.5 * 2.5) = 5.25.
Высоту тетраэдра можно найти, например, как расстояние от вершины D до плоскости A1B1C1. Обозначим это расстояние как h1.
Так как точки A1, B1 и C1 лежат на плоскости A1B1C1, то уравнение этой плоскости можно записать в виде:
Ax + By + Cz + D = 0,
где A, B и C — коэффициенты плоскости, D — свободный член.
Подставим в это уравнение координаты точек A1, B1 и C1 и решим систему уравнений:
A * 1 + B * 3 + C * 2 + D = 0,
A * 4 + B * 3 + C * 0 + D = 0,
A * 1 + B * 0 + C * 5 + D = 0.
Решив эту систему, получим:
A = -3/5, B = 4/5, C = -1/5, D = 0.
Таким образом, уравнение плоскости A1B1C1 имеет вид:
-3/5 * x + 4/5 * y — 1/5 * z = 0.
Расстояние от точки D до этой плоскости можно найти по формуле:
h1 = |(-3/5) * 1 + (4/5) * 3 — (1/5) * 2| / sqrt((-3/5)^2 + (4/5)^2 + (-1/5)^2) = 2.4 / sqrt(26/25) = 2.4 * sqrt(25/26) = 2.4 * 5 / sqrt(26) = 1.15.
Таким образом, высота тетраэдра равна h = 1.15.
Теперь можем найти объем тетраэдра:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * 5.25 * 1.15 = 2.02.
Плоскость A1B1C1 делит объем тетраэдра на две части, причем объем одной из них равен площади треугольника A1B1C1, умноженной на высоту тетраэдра, опущенную на этот треугольник. Обозначим этот объем как V1.
Площадь треугольника A1B1C1 можно найти, например, по формуле Герона:
p1 = (DA1 + DB1 + DC1) / 2 = (1 + 3 + 2) / 2 = 3,
S1 = sqrt(p1 * (p1 — DA1) * (p1 — DB1) * (p1 — DC1)) = sqrt(3 * 2 * 1 * 1) = sqrt(6).
Высоту тетраэдра, опущенную на треугольник A1B1C1, можно найти, например, как расстояние от вершины D до плоскости A1B1C1. Обозначим это расстояние как h2.
Так как точки A1, B1 и C1 лежат на плоскости A1B1C1, то уравнение этой плоскости уже известно:
-3/5 * x + 4/5 * y — 1/5 * z = 0.
Расстояние от точки D до этой плоскости можно найти по формуле:
h2 = |(-3/5) * 1 + (4/5) * 3 — (1/5) * 2| / sqrt((-3/5)^2 + (4/5)^2 + (-1/5)^2) = 2.4 / sqrt(26/25) = 2.4 * sqrt(25/26) = 2.4 * 5 / sqrt(26) = 1.15.
Таким образом, высота тетраэдра, опущенная на треугольник A1B1C1, равна h2 = 1.15.
Теперь можем найти объем части тетраэдра, ограниченной плоскостью A1B1C1:
V1 = (1/3) * S1 * h2 = (1/3) * sqrt(6) * 1.15 = 0.81.
Отношение объема этой части тетраэдра к объему всего тетраэдра равно:
V1 / V = 0.81 / 2.02 = 0.4.
Таким образом, плоскость A1B1C1 делит объем тетраэдра в отношении 0.4 : 0.6.
