Вопрос школьника
На рисунках 331, а)—в) точка O — центр окружности, прямые MA и MB — касательные, A и B — точки касания. Найдите:
а) величину угла α (рис. 331, а);
б) сумму углов α + β, если MK = OA = 5 см (рис. 331, б);
в) длину отрезка BM, если OA = 6 см, KM = 4 см (рис. 331, в).
Ответ от учителя
а) Угол $alpha$ равен углу между касательной $MA$ и радиусом $OA$, проведенным в точке касания $A$. Так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания, то угол $alpha$ равен углу между радиусом $OA$ и отрезком $AM$. Так как треугольник $OAM$ является прямоугольным, то $alpha = angle OAM = arctanfrac{AM}{OA}$.
б) Угол $alpha + beta$ равен углу между касательными $MA$ и $MB$. Так как $OA = MK$, то треугольник $OMK$ является равнобедренным, и угол $angle KOM$ равен $frac{180^circ — alpha}{2}$. Аналогично, угол $angle MOB$ равен $frac{180^circ — beta}{2}$. Тогда $alpha + beta = angle KOM + angle MOB = frac{180^circ — alpha}{2} + frac{180^circ — beta}{2} = 180^circ — frac{alpha + beta}{2}$. Отсюда получаем, что $alpha + beta = 120^circ$.
в) Рассмотрим треугольник $OBM$. Так как $OA = 6$ и $MK = 4$, то $OK = OA — MK = 2$. Также, так как $OM$ является медианой треугольника $OBK$, то $OM = frac{1}{2}sqrt{2(OA^2 + OK^2) — BK^2} = frac{1}{2}sqrt{2(6^2 + 2^2) — BM^2}$. Таким образом, мы получили два уравнения для двух неизвестных $BM$ и $OM$. Решая их, получаем $BM = sqrt{20}$ (или $2sqrt{5}$).
