Вопрос школьника
На рисунках 332, а), б) AB — касательная к окружности, B — точка касания, O — центр окружности. Найдите
а) ∠BOC, если OC = 3√3 см, AB = 3 см (рис. 332, а);
б) AC, если AB = 12 см, OC = 9 см (рис. 332, б).
Ответ от учителя
а) В треугольнике BOC угол BOC является центральным углом, соответствующим дуге BC. Так как AB является касательной к окружности, то угол BAC является прямым. Тогда угол BOC равен сумме углов BAC и ACO. Угол ACO можно найти, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AOC: AC = √(OC² — OA²) = √(27 — 9) = 3√6 см. Тогда, так как AB = 3 см, угол BAC равен 30° (так как треугольник BAC является равнобедренным). Таким образом, угол BOC = 30° + arctg(√6) ≈ 75,5°.
б) В треугольнике AOC можно найти угол AOC, используя теорему косинусов: AC² = AO² + OC² — 2AO*OC*cos(AOC). Так как AO равно радиусу окружности, то AO = AB/2 = 6 см. Также мы знаем, что OC = 9 см. Угол AOC можно найти, используя теорему косинусов: cos(AOC) = (AO² + OC² — AC²)/(2AO*OC) = (6² + 9² — 12²)/(2*6*9) = 1/3. Тогда AOC = arccos(1/3) ≈ 70,5°. Так как треугольник BAC является равнобедренным, то угол BAC равен 60°. Тогда угол BAO равен (180° — 60°)/2 = 60°. Таким образом, в треугольнике ABO угол AOB равен 180° — 60° — 60° = 60°. Так как треугольник AOC является прямоугольным, то угол OAC равен arctg(OC/OA) = arctg(3/6) = 30°. Тогда угол BAC равен 60° + 30° = 90°. Таким образом, в треугольнике ABC угол B равен 90°. Тогда, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC, мы можем найти AC: AC² = AB² + BC² = 12² + (3√3)² = 144 + 27 = 171. Тогда AC = √171 см.
