Вопрос школьника
На рисунке 108 ∠1 = ∠2, ВС = EF, AD = CF. Докажите, что АВ II DE. 2. На рисунке 109 ∠1 = ∠2, BD ⊥ АС, АС — биссектриса угла ВАЕ. Докажите, что ВС II АЕ.
Ответ от учителя
1. Из условия задачи известно, что углы ∠1 и ∠2 равны, а также что отрезки ВС и EF равны. Также известно, что AD = CF. Рассмотрим треугольники ABD и CFE. У них равны два угла: ∠1 и ∠2, а также равны две стороны: ВС и EF. Поэтому эти треугольники подобны друг другу по признаку «угол-сторона-угол». Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны: AB/CE = BD/FE. Так как CE = AB + BC, то AB/AB+BC = BD/FE. Отсюда следует, что AB/DE = BD/FE. Значит, отрезки AB и DE пропорциональны, то есть параллельны. Следовательно, АВ II DE.
2. Из условия задачи известно, что углы ∠1 и ∠2 равны, а также что АС — биссектриса угла ВАЕ. Рассмотрим треугольники ABD и ACE. У них равны два угла: ∠1 и ∠2, а также угол ACE равен углу ABD, так как АС — биссектриса угла ВАЕ. Поэтому эти треугольники подобны друг другу по признаку «угол-угол-угол». Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны: AB/AC = BD/CE. Так как AC — биссектриса угла ВАЕ, то AB/AE = BD/DE. Значит, отрезки AB и DE пропорциональны, то есть параллельны. Следовательно, ВС II АЕ.
