Вопрос школьника
На рисунке 11.12 изображены ромбы АВСЕ и BCDE. Найдите периметр треугольника ВСЕ, если ВС = 3 см. Чему равны углы этого треугольника?
Ответ от учителя
На рисунке 11.12 изображены ромбы АВСЕ и BCDE:
«`
A——B
| /|
| / |
| / |
| / |
| / |
|/ |
C——D
E
«`
Из ромба АВСЕ следует, что АС = СЕ, а из ромба BCDE следует, что ВС = СD. Так как ВС = 3 см, то СД также равно 3 см.
Треугольник ВСЕ образован сторонами ВС, СЕ и ВЕ. Из ромба АВСЕ следует, что угол ВАС равен 90 градусов, а угол ВЕС равен 180 — 90 = 90 градусов. Таким образом, треугольник ВСЕ является прямоугольным.
Периметр треугольника ВСЕ равен сумме длин его сторон:
Периметр = ВС + СЕ + ВЕ = 3 + 2СЕ
Так как АС = СЕ, то СЕ = АС/2. Из ромба АВСЕ следует, что АВ = 2АС, поэтому ВЕ = АВ — ВС — СЕ = 4АС/2 — 3 = 2АС — 3.
Таким образом, периметр треугольника ВСЕ равен:
Периметр = 3 + 2СЕ = 3 + 2(АС/2) = 3 + АС
Чтобы найти АС, можно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ВСА:
ВА^2 = ВС^2 + АС^2
2АС = ВА = √(ВС^2 + АС^2) = √(3^2 + АС^2)
4АС^2 = 9 + АС^2
3АС^2 = 9
АС = √3
Таким образом, периметр треугольника ВСЕ равен:
Периметр = 3 + √3
Углы треугольника ВСЕ можно найти, используя теорему косинусов:
cos(ВСЕ) = (ВС^2 + СЕ^2 — ВЕ^2) / (2ВССЕ)
cos(ВСЕ) = (3^2 + (√3/2)^2 — (2√3 — 3)^2) / (2*3*√3/2)
cos(ВСЕ) = (9 + 3/4 — 12 + 12√3 — 9) / (3√3)
cos(ВСЕ) = (3/4 + 12√3) / (3√3)
cos(ВСЕ) = 1/2√3 + 2/3
ВСЕ = arccos(1/2√3 + 2/3) ≈ 29.1 градусов
Угол ВСЕ равен 29.1 градусов, а углы ВСА и СВЕ равны 90 градусов.
