Вопрос школьника
На рисунке 110 изображены графики функций y = 1/x и у = 2х — 1. а) Укажите несколько значений х, при которых эти функции принимают различные значения. б) Укажите корни уравнения 1/x = 2х- 1. Являются ли найденные корни точными или приближёнными?
Ответ от учителя
а) Для того чтобы найти значения х, при которых функции y = 1/x и у = 2х — 1 принимают различные значения, необходимо найти точки пересечения графиков этих функций. Так как графики данных функций находятся на одном рисунке, то можно найти точки пересечения графиков графически. Из рисунка 110 видно, что графики функций пересекаются в точке (1,1). Следовательно, при х = 1 функции y = 1/x и у = 2х — 1 принимают различные значения. Также можно заметить, что при х < 1 функция y = 1/x принимает большие значения, чем функция у = 2х - 1, а при х > 1 — меньшие. Следовательно, еще несколько значений х, при которых функции принимают различные значения, можно найти, рассмотрев интервалы (0,1) и (1,∞). Например, при х = 0.5 функция y = 1/x принимает значение 2, а функция у = 2х — 1 — значение 0. Следовательно, при х = 0.5 функции y = 1/x и у = 2х — 1 принимают различные значения.
б) Чтобы найти корни уравнения 1/x = 2х — 1, необходимо решить уравнение 1/x — 2х + 1 = 0. Для этого можно воспользоваться методом подбора корней или графическим методом. Однако, так как данное уравнение не является трансцендентным, то его можно решить аналитически. Приведем уравнение к общему знаменателю: (1 — 2хх)/x = 0. Получаем уравнение 1 — 2хх = 0. Решая его, находим корни: х1 = -1 и х2 = 1/2. Проверим, являются ли найденные корни точными или приближенными. Так как уравнение 1/x = 2х — 1 является алгебраическим, то найденные корни являются точными.
