Вопрос школьника
На рисунке 119, а точка М — произвольная точка биссектрисы ОТ неразвернутого угла АОВ. Докажите, что перпендикуляры MF и ME, проведенные к сторонам угла, равны.
Ответ от учителя
Для доказательства равенства перпендикуляров MF и ME необходимо воспользоваться свойством биссектрисы угла.
По определению биссектрисы, точка М делит угол АОВ на два равных угла. Обозначим эти углы через ∠MOT и ∠MOV.
Так как углы ∠MOT и ∠MOV равны, то стороны угла АОВ, на которые опущены перпендикуляры MF и ME, образуют равные углы с биссектрисой ОТ.
Таким образом, треугольники MFO и MEO являются равнобедренными, так как у них равны основания MF и ME и равны углы при вершине M.
Из свойств равнобедренного треугольника следует, что высоты, опущенные на основания, равны. Следовательно, перпендикуляры MF и ME, проведенные к сторонам угла, равны.
Таким образом, мы доказали, что перпендикуляры MF и ME, проведенные к сторонам угла, равны, что и требовалось доказать.
