Вопрос школьника
На рисунке 119 AD BC, M и K — середины отрезков AB и CD.
Найдите:
а) ∠MED, если ∠C = 125°, ∠BDC = 15°;
б) ME : EK, если AD = 24 см, BC = 18 см.
Ответ от учителя
На рисунке 119 AD BC, M и K — середины отрезков AB и CD.
а) Найдем угол BDC, используя свойство угла, образованного хордой и дугой: ∠BDC = ½(∠BOC) = ½(360° — ∠AOC) = ½(360° — 125°) = 117.5°.
Так как M и K являются серединами отрезков AB и CD, то AM = MB и CK = KD. Также, так как AD и BC являются диагоналями четырехугольника ABCD, то они делятся пополам точкой пересечения внутренних диагоналей — точкой пересечения AC и BD. Обозначим эту точку O.
Так как MO и KO являются медианами треугольников AOB и COD, то они делятся пополам соответствующих сторон. То есть, MO = ½AB и KO = ½CD.
Таким образом, мы можем выразить угол MED через углы треугольников AOB и COD:
∠MED = ∠MOB + ∠KOD = ½∠A + ½∠C = ½(125°) + ½(117.5°) = 121.25°.
Ответ: ∠MED = 121.25°.
б) Так как M и K являются серединами отрезков AB и CD, то AM = MB и CK = KD. Также, так как AD и BC являются диагоналями четырехугольника ABCD, то они делятся пополам точкой пересечения внутренних диагоналей — точкой пересечения AC и BD. Обозначим эту точку O.
Так как MO и KO являются медианами треугольников AOB и COD, то они делятся пополам соответствующих сторон. То есть, MO = ½AB и KO = ½CD.
Также, так как ME и EK являются медианами треугольника MCK, то они делятся пополам соответствующей стороны. То есть, ME = EK.
Таким образом, мы можем выразить отношение ME : EK через длины сторон четырехугольника ABCD:
ME : EK = (AM + ME) : (EK + KD) = (½AB + ME) : (EK + ½CD) = (½AB + ME) : (½AB + ½BC) = (½AB + ME) : 21.
Так как AM = MB = ½AD и CK = KD = ½BC, то AB = AD + DC + BC = 24 + 18 = 42.
Также, так как MO и KO являются медианами треугольников AOB и COD, то они делятся пополам соответствующих сторон. То есть, MO = ½AB и KO = ½CD. Таким образом, MO = 21.
Так как ME = EK, то ME : EK = 1 : 1.
Таким образом, мы можем выразить ME : EK через длину MO:
ME : EK = (½AB + ME) : 21 = (½AB + MO — 21) : 21 = (½(42) + 21 — 21) : 21 = 1 : 1.
Ответ: ME : EK = 1 : 1.
