Вопрос школьника
На рисунке 126 изображены две окружности с центрами О и С так, что они имеют одну общую точку Е. Определите радиус большей окружности, если PR = 24 см, а радиус меньшей окружности равен 3 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно использовать свойства касательных и секущих окружностей.
Изображенные на рисунке отрезки PE и CE являются касательными к окружностям с центрами О и С соответственно. Поэтому угол PEC является прямым.
Также изображенный на рисунке отрезок PR является секущей, пересекающей окружности в точках P и Q.
Из свойств секущих окружностей следует, что произведение отрезков PQ и QR равно квадрату расстояния между центрами окружностей. То есть:
PQ * QR = EO²
где EO — расстояние между центрами окружностей.
Так как точка Е является общей для обеих окружностей, то EO равно сумме радиусов окружностей:
EO = OC + OЕ
Таким образом, мы можем записать:
PQ * QR = (OC + OЕ)²
Заметим, что треугольник PEC является прямоугольным, поэтому мы можем применить теорему Пифагора:
PE² + EC² = PC²
PE² + (OC — OЕ)² = (OC + OЕ)²
PE² + OC² — 2OC * OЕ + OЕ² = OC² + 2OC * OЕ + OЕ²
PE² — 4OC * OЕ = 2OC * OЕ
PE² = 6OC * OЕ
Теперь мы можем выразить PQ и QR через радиусы окружностей:
PQ = PR — QR = 24 — 2OC
QR = EO — OC = OЕ
Подставляя эти выражения в уравнение PQ * QR = (OC + OЕ)², получаем:
(24 — 2OC) * OЕ = (OC + OЕ)²
24OЕ — 2OC * OЕ = OC² + 2OC * OЕ + OЕ²
OC² — 22OЕ * OC + 23OЕ² = 0
Решая это квадратное уравнение относительно OC, получаем:
OC = 11OЕ ± 2√(2)OЕ
Так как радиус окружности не может быть отрицательным, то мы выбираем положительное значение:
OC = 11OЕ + 2√(2)OЕ
Теперь мы можем выразить радиус большей окружности через радиус меньшей окружности:
OC = 3 + OС
3 + OС = 11OЕ + 2√(2)OЕ
OС = 8OЕ + 2√(2)OЕ — 3
OС = OЕ(8 + 2√(2)) — 3
Таким образом, радиус большей окружности равен:
OС = (8 + 2√(2))OЕ — 3
Подставляя значение радиуса меньшей окружности OЕ = 3 см, получаем:
OС = (8 + 2√(2)) * 3 — 3 ≈ 21,5 см
Ответ: радиус большей окружности примерно равен 21,5 см.
