Вопрос школьника
На рисунке 129 ∠1= ∠2, ED = ВС, EF = АС. Докажите, что EF II АС. 2. На рисунке 130 АС — биссектриса угла BAD, BE ⊥ AC и АЕ = ЕС. Докажите, что AD II ВС.
Ответ от учителя
1. Из условия задачи известно, что ∠1= ∠2 и ED = ВС. Также, по определению параллельных прямых, углы ∠1 и ∠2, а также углы ∠3 и ∠4, будут соответственными. То есть ∠3= ∠4.
Теперь рассмотрим треугольники AEF и ACS. У них есть две пары равных углов: ∠AEC = ∠AFB (так как это вертикальные углы) и ∠EAF = ∠CAS (так как это соответственные углы). Также, по условию, EF = AC.
Из равенства углов и равенства сторон следует, что треугольники AEF и ACS подобны. А значит, соответствующие стороны будут параллельны. То есть EF II АС.
2. Из условия задачи известно, что АС — биссектриса угла BAD, то есть угол BAC равен углу CAD. Также, из условия АЕ = ЕС следует, что треугольник АСЕ равнобедренный, а значит, угол АСЕ равен углу САЕ.
Рассмотрим треугольники АВЕ и СВЕ. У них есть две пары равных углов: ∠ВАЕ = ∠СЕВ (так как это вертикальные углы) и ∠АВЕ = ∠СВЕ (так как это соответственные углы).
Из равенства углов следует, что треугольники АВЕ и СВЕ подобны. А значит, соответствующие стороны будут пропорциональны. То есть АД/ВЕ = СВ/ВС.
Но так как АЕ = ЕС, то ВЕ = ВС. Подставляя это в пропорцию, получаем АД/ВС = СВ/ВС, то есть АД = СВ.
Таким образом, мы доказали, что АД и СВ равны, а значит, они параллельны. То есть AD II ВС.
